ANALASIS MATERI OPERASI HITUNG ALJABAR

Analisis Materi Mata Pelajaran Kelas VIII SK-1

Standar Kompetensi	Kompetensi Dasar	Analisis Materi
1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus.	1.1. Melakukan operasi aljabar	Materi Fakta 1. Variabel Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z. 2. Konstanta Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta. 3. Koefisien Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. 4. Suku Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. a. suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 4a² , –2ab, ... b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: a²+ 2, x + 2y, 3x² – 5x, ... c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x² + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ... Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau polinom. Materi Konsep Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Materi Prinsip Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain: a. Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a b. Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) + c c. Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b × a d. Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) × c e. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Materi Prosedur a. Penjumlahan dan Pengurangan · Suku-suku yang dijumlahkan atau dikurangkan harus suku yang sejenis · Suku sejenis ditandai dengan variabal dan pangkat yang sama Contoh : 5x + 8y + 3x – 4y + 10 = (5x + 3x) + (8y – 4y) + 10 = 8x + 4y + 10 12x² – 10x – 9x² + 16x = (12x² – 9x²) + (16x – 10x) = 3x² + 6x b. Perkalian Jika variable yang tak sejenis saling dikalikan maka hasilnya adalah perkalian koefesien variable tersebut. Contoh : a x b = ab 5p² x 4q = 20p²q Jika variable sejenis saling dikalikan maka hasilnya adalah koefisien variable tersebut dengan pangkatnya adalah jumlah pangkat variable tersebut. Contoh : a² x a = a ²⁺¹ = a³ 5 a² x 2 a³ = 10 a ²⁺³ c. Pembagian Jika variable-variabel yang tidak sejenis saling dibagi maka hasilnya adalah pembagian koefisien variable tersebut. Contoh : a : b = 10 x : 2y = = Jika variable dibagi variable yang sejenis, hasilnya sebagai berikut : 8a : 2a = = 4 12a 2 : 4a = = = 3a d. Sifat Distributif Perkalian Rumus : a(b + c) = ab + ac a(b – c) = ab – ac (a + b) x (c + d) = ac + ad + bc + bd (a – b) x (c – d) = ac – ad – bc – bd e. Perpangkatan Bentuk Aljabar Rumus : P² = p x p P³ = p x p x p (ab)² = ab x ab f. Perpangkatan Bentuk Aljabar Suku Dua Rumus : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a – b)3 = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ g. FPB dan KPK Bentuk Aljabar · KPK merupakan perkalian factor-faktor prima yang berbeda dengan pangkat tertinggi. · FPB merupakan perkalian factor-faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil. Contoh : Tentukan KPK dan FPB dari 18a²b³c² dan 12a³c⁵ 18a²b³c² = 2 x 3² x a² x b³ x c² 12a³c⁵ = 2² x 3 x a³x c⁵ KPK : 2² x 3² x a³ x b³ x c⁵ = 36a³b³c³ FPB : Faktor yang sama : 2 dengan 2² a² dengan a³ 3 dengan 3² c² dengan c⁵ Pilih factor terkecil maka FPB = 2 x 3 x a² x c² = 6a²c²
	1.2. Menguraikan bentuk aljabar kedalam faktor-faktornya	Materi Fakta 1. Variabel Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z. 2. Konstanta Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta. 3. Koefisien Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. 4. Suku Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. d. suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 4a² , –2ab, ... e. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: a²+ 2, x + 2y, 3x² – 5x, ... f. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x² + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ... Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau polinom. Materi Konsep Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut. Materi Prinsip 1. Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif : ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...) ax + bx – cx = x(a + b – c) 2. Bentuk Selisih Dua Kuadrat x²– y² x² – y² = ( x + y) (x – y ) 3. Bentuk x² + 2xy + y² dan x²– 2xy + y² x² + 2xy + y²= ( x + y) ( x + y ) = (x + y)² x²– 2xy + y²= (x – y)( x – y) = (x –y)² 4. Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1 X²+bx+c=(x+m)(x+n) dengan m x n = c dan m + n = b 5. Bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0 a. Menggunakan sifat distributive ax ² + bx + c = ax² + px + qx + c dengan p x q = a x c dan p + q = b b. Menggunakan rumus ax ² + bx + c = (ax + m) (ax + n) dengan m x n = a x c dan m + n = b Materi Prosedur 1. Faktorkanlah bentuk aljabar berikut 2x + 2y Penyelesaian: 2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga 2x + 2y = 2(x +y). 2. Faktorkanlah bentuk aljabar berikut x²– 4 Penyelesaian: x² – 4 = x²– 2² = (x – 2) (x + 2) 3. Faktorkanlah bentuk berikut p²+ 2pq + q² Penyelesaian: = (p²+pq)+(pq+q²) = p(p+q)+q(p+q) = (p+q)(p+q) = (p+q)2
	1.3. Memahami relasi dan fungsi	Materi Fakta Jika x anggota A (domain) dan y anggota B (kodomain) maka fungsi f yang memetakan x ke y dinotasikan dengan f : x y, dibaca fungsi f memetakan x ke y atau x dipetakan ke y oleh fungsi f. Materi Konsep a. Pengertian relasi Relasi adalah suatu cara atau aturan yang memasangkan anggota suatu himpunan (kelompok) ke anggota himpunan lain. b. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B Materi Prinsip · Syarat Suatu Fungsi : 1. Harus ada himpunan yang merupakan daerah asal (domain). 2. Harus ada himpunan yang merupakan daerah kawan (kodomain). 3. Harus ada daerah hasil(range) yang merupakan himpunan bagian daei daerah kawan. 4. Semua anggota daerah asal (domain) habis terpetakan. 5. Anggota daerah asal (domain) tidak boleh terpetakan lebih dari satu (bercabang). Materi Prosedur Relasi · Himpunan A={Ani,Banu,Rudi,Dian} Himpunan B={Renang,Basket,Voli} Anggota-anggota himpunan A dan anggota-anggota himpunan B dapat dihubungkan dengan relasi,yaitu “Menyukai Olahraga”. · Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {1, 2, 3, ..., 12}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “setengah dari”. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk diagram panah ! Penyelesaian : Fungsi · Pengambilan data mengenai berat badan dari enam siswa kelas VIII disajikan pada tabel berikut. Diagram Panah Dari diagram panah pada Gambar 2.6 dapat diketahui hal- hal sebagai berikut : a. Setiap siswa memiliki berat badan. Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai kawan atau pasangan dengan anggota B. b. Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan. Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B.
	1.4. Menentukan nilai fungsi	Materi Fakta · Jika x anggota A (domain) dan y anggota B (kodomain) maka fungsi f yang memetakan x ke y dinotasikan dengan f : x y, dibaca fungsi f memetakan x ke y atau x dipetakan ke y oleh fungsi f. · Nilai Fungsi Jika bentuk f (x) = ax + b, maka nilai fungsi untuk x tertenu dapat ditentukan dengan substitusi x pada bentuk fungsi f(x) = ax + b. Materi Konsep a. Pengertian Fungsi Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. b. Dua himpunan A dan B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. Materi Prinsip · Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah b^a b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah a^b · Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 3 x 2 x 1. Materi Prosedur · Diketahui f (x) = 4x – 1, nilai fungsi untuk x = 2 adalah f (2) = 4 (2) – 1 = 7 Jadi nilai fungsi untuk x=2 adalah 7 · Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = –5 dan f(–2) = –9. Tentukan bentuk fungsi f(x). Penyelesaian: Karena f fungsi linear, maka f(x) = ax + b. Dengan demikian diperoleh f(0) = –5 f(0) = a (0) + b = –5 0 + b = –5 b = –5 Untuk menentukan nilai a, perhatikan langkah berikut. f(–2) = –9 f(–2) = a (–2) + b = –9 –2a – 5 = –9 –2a = –9 + 5 –2a = –4 a = 2 Jadi, fungsi yang dimaksud adalah f(x) = ax + b = 2x – 5.